Cho tam giác ABC cân tại A có góc A = 120 độ. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC

a) Do MA⊥AB,NA⊥AC nên tam giác BAM vuông tại A, tam giác CAN vuông tại A.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, ABC^=ACB^ hay ABM^=ACN^.

Xét hai tam giác BAM vuông tại A và CAN vuông tại A có:

ABM^=ACN^ (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

Vậy ΔBAM=ΔCAN (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Xét tam giác ABC có: ABC^+ACB^+BAC^=180°.

Mà ABC^=ACB^ (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó 2ABC^=180°−BAC^=180°−120°=60°.

Do đó ABC^=ACB^=30°.

Do ΔBAM=ΔCAN (chứng minh ở ý a) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng).

Do đó tam giác AMN cân tại A (1).

Xét tam giác CAN vuông tại A có ANC^+ACN^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó ANC^=90°−ACN^=90°−30°=60°.

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều.

Do đó MAN^=60°.

Ta có: MAN^+NAB^=MAB^

Suy ra NAB^=MAB^−MAN^=90°−60°=30°.

Do đó NAB^=ABN^=30°.

Suy ra tam giác ANB cân tại N.

Ta có: MAN^+MAC^=NAC^

Suy ra MAC^=NAC^−MAN^=90°−60°=30°.

Do đó MAC^=MCA^=30°.

Suy ra tam giác AMC cân tại M.