Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH = a √ 3 , BC = 3a , B C chứa trong mặt phẳng ( P ) . Gọi A ′ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( P ) (như hình vẽ bên). Biết
25/38
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH = a\sqrt 3 ,\,BC = 3a\), \(BC\) chứa trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) (như hình vẽ bên). Biết tam giác \(A'BC\) vuông tại \(A'\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\(\varphi = 60^\circ \).
\(\varphi = 45^\circ \).
\(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
\(\varphi = 30^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
Vì \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(AA' \bot \left( {A'BC} \right)\).
Suy ra \(AA' \bot BC\).
Lại có \(AH \bot BC\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\)).
Do đó, \(BC \bot \left( {A'AH} \right)\). Suy ra \(A'H \bot BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\A'H \bot BC,\,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),\,AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC} \right)\) bằng góc \(AHA'\), tức là \(\varphi = \widehat {AHA'}\).
Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Lại có tam giác \(A'BC\) vuông tại \(A'\), do đó \(A'H = \frac{{BC}}{2} = \frac{{3a}}{2}\).
Tam giác \(A'AH\) vuông tại \(A'\) có \(\cos \widehat {AHA'} = \frac{{A'H}}{{AH}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), tức là \(\varphi = 30^\circ \).