Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao. Vẽ E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia ED vẽ điểm F sao cho ED = EF. a) Chứng minh tứ giác ADCF là hình chữ nhật.

15/15

Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[AD\] là đường cao. Vẽ \[E\] là trung điểm của \[AC.\] Trên tia đối của tia \[ED\] vẽ điểm \[F\] sao cho \[ED = EF.\]

a) Chứng minh tứ giác \[ADCF\] là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia \[DA,\] vẽ điểm \[K\] sao cho \[DA = DK.\] Chứng minh tứ giác \[ABKC\] là hình thoi.

c) Vẽ \(M\) là trung điểm của \[DC.\] Tia \[FM\] cắt \[AC\] tại \(I.\) Chứng minh \[IM = \frac{1}{3}KM.\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao. Vẽ E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia ED vẽ điểm F sao cho ED = EF. a) Chứng minh tứ giác ADCF là hình chữ nhật. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác \[ADCF\] có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(DF\) (do \[ED = EF)\] nên tứ giác \[ADCF\] là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \) (do \(AD \bot BC)\) nên \[ADCF\] là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AD\) là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(D\) là trung điểm của \(BC.\)

Xét tứ giác \[ABKC\] có \(D\) là trung điểm của \(BC\) và \(AK\) (do \[DA = DK)\] nên \[ABKC\] là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo \(AK\) và \(BC\) vuông góc với nhau nên \[ABKC\] là hình thoi.

c) Ta có: \[FC = AD\] (vì tứ giác \[ADCF\] là hình chữ nhật) và \[AD = DK\] (giả thiết) nên \[FC = DK.\] (1)

Ta có: \[FC\,{\rm{//}}\,AD\] (vì tứ giác \[ADCF\] là hình chữ nhật) nên \[FC\,{\rm{//}}\,DK.\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \[FDKC\] là hình bình hành.

Mà \(M\) là trung điểm của \[DC\] nên \(M\) là trung điểm của \[FK.\]

Xét tam giác \[FDC\] có \[CE\] và \[FM\] là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là trọng tâm của tam giác \[FDC.\] Do đó \[IM = \frac{1}{3}FM.\]

Mà \[FM = MK\] nên \[IM = \frac{1}{3}MK.\]