Cho tam giác ABC cân tại A ( ˆ A < 90 ∘ ) . Kẻ BD vuông góc với AC tại D , kẻ CE vuông góc với AB tại E . a) Chứng minh tam giác ADE cân.

11/13

(3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ $\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)$. Kẻ $BD$ vuông góc với $AC$ tại $D,$ kẻ $CE$ vuông góc với $AB$ tại $E$.

a) Chứng minh tam giác $ADE$ cân.

b) Chứng minh \[DE\parallel BC\].

c) Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Chứng minh $IB = IC$.

d) Chứng minh $AI \bot BC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ \(\left( {\widehat A (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ $;

$\widehat {BAC}$ chung;

$AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$).

Do đó $\Delta ABD = \Delta ACE$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó tam giác $ADE$ cân tại $A$.

b) $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}$ $\left( 1 \right)$

$\Delta ADE$ cân tại $A$ nên $\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {ACB}$.

Mà $\widehat {ADE}$ và $\widehat {ACB}$ ở vị trí đồng vị.

Do đó \[DE\parallel BC\].

c) Ta có: $\widehat {ABC} = \widehat {ABI} + \widehat {IBC}$; $\widehat {ACB} = \widehat {ACI} + \widehat {ICB}$.

Mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$); $\widehat {ABI} = \widehat {ACI}$ (vì \[\Delta ABD = \Delta ACE\]).

Nên \[\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\] suy ra $\Delta IBC$ cân tại $I$.

Do đó $IB = IC$.

d) Ta có $AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$).

Suy ra điểm $A$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Mặt khác $I$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Khi đó $AI$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Do đó $AI \bot BC$.