Cho tam giác ABC cân tại A ( ˆ A < 90 ∘ ) . Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại điểm D . Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD .

12/14

(2,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$$\left( {\widehat A < 90^\circ } \right)$. Đường trung trực của cạnh $AC$ cắt tia $CB$ tại điểm $D$. Trên tia đối của tia $AD$ lấy điểm E sao cho $AE = BD$.

a) Chứng minh tam giác $ADC$ cân;

b) Chứng minh $\widehat {EAC} = \widehat {ABD}$;

c) Lấy $F$ là trung điểm của $DE$. Chứng minh $CF$ là đường trung trực của $DE$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ \(\left( {\widehat (ảnh 1)$

a) Theo đề bài, đường trung trực của cạnh $AC$ cắt tia $CB$ tại điểm $D$.

Suy ra $D$ thuộc đường trung trực của $AC$ nên $DA = DC$.

Do đó tam giác $ADC$ có $DA = DC$ nên tam giác $ADC$ cân tại $D$.

b) Vì tam giác $ADC$ cân nên $\widehat {DAC} = \widehat {DCA}$ (1)

Vì $AB = AC$ nên $\widehat {ABC} = \widehat {DCA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {DAC} = \widehat {ABC}$.

Ta có $\widehat {EAC} + \widehat {DAC} = 180^\circ $; $\widehat {DBA} + \widehat {ABC} = 180^\circ $ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat {DAC} = \widehat {DCA}$ nên $\widehat {EAC} = \widehat {ABD}$ (đpcm).

c) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta CAE$ có:

$AE = BD$ (giả thiết);

$\widehat {EAC} = \widehat {ABD}$ (chứng minh trên);

$AB = AC$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $A$).

Do đó $\Delta ABD = \Delta CAE$ (c.g.c).

Suy ra $AD = CE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $DA = DC$ (chứng minh trên) nên $CE = CD$.

Mà $FD = FE$ ($F$ là trung điểm $DE$)

Do đó $CF$ là đường trung trực của $DE$.