Cho tam giác ABC cân ở A có góc BAC = 120 độ . Đường trung trực của các cạnh AB và AC
10/14
Cho tam giác ABC cân ở A có BAC^=120° . Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).
a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.
• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, B^=C^ .
Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = 12 AB.
Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = 12 AC.
Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.
• Xét ∆AQI và ∆API có:
AQI^=API^=90°,
AI là cạnh chung,
AQ = AP (chứng minh trên)
Do đó ∆AQI = ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).
• Xét ∆BQD và ∆CPE có:
BQD^=CPE^=90°,
B^=C^(chứng minh trên),
BQ = CP (chứng minh trên)
Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).
• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.
Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)
Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.