Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN

a) Trong ΔABC có các đường trung tuyến BD, CE nên D là trung điểm của  AC, E là trung điểm của AB nên ED là đường trung bình của ΔABC

Suy ra ED=12BC và ED // BC (tính chất đường trung bình của tam giác).

b) Ta có: E là trung điểm của AB nên AE=EB=12AB.

Mà M là trung điểm của EB nên EM=MB=12EB=14AB hay MBAB=14.

Tương tự, ta cũng có NC=14AC hay NCAC=14.

Suy ra MBAB=NCAC  =14.

Xét ΔABC có MBAB=NCAC nên MN // BC (định lí Thalès đảo).

c) Ta có MN // BC (câu b) và ED // BC (câu a) nên ED // MN // BC.

Xét ΔBDE có M là trung điểm của EB và MI // ED (do ED // MN)

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID

Khi đó MI là đường trung bình của ΔBDE nên MI=12ED.

Tương tự, trong DCDE ta cũng có KN=12ED, trong DBCE có MK=12BC.

Ta có IK=MK−MI=12BC−12ED=ED−12ED=12ED.

Do đó MI=IK=KN=12ED.