Cho tam giác ABC các điểm M, N lần lượt thuộc cạnh AB, AC sao cho AM/AB = AN/AC = 1/3. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Tỉ số diện tích

Đáp án đúng là: C

Từ \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3},\) theo định lí Thalès đảo suy ra MN // BC và \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{3}.\)

Áp dụng hệ quả Thalès cho ∆ICB, ta có \(\frac{{IM}}{{IC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{3}.\)

Suy ra \(\frac{{IC}}{{IM}} = \frac{3}{1}\) nên \[\frac{{IC}}{{IM + IC}} = \frac{3}{{1 + 3}}\] hay \(\frac{{IC}}{{MC}} = \frac{3}{4}.\)

Ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) nên \(AM = \frac{1}{3}AB,\) suy ra \(BM = AB - AM = AB - \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}AB.\)

Xét ∆BMC và ∆ABC có chung chiều cao h₁ từ C, đáy \(BM = \frac{2}{3}AB,\) nên \(\frac{{{S_{\Delta BMC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_1}BM}}{{\frac{1}{2}{h_1}AC}} = \frac{2}{3}.\)

Suy ra \({S_{\Delta BMC}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta ABC}}.\)

Xét ∆IBC và ∆BMC có chung chiều cao h₂ từ B, và đáy \(IC = \frac{3}{4}MC\) nên \[\frac{{{S_{\Delta IBC}}}}{{{S_{\Delta BMC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_2}IC}}{{\frac{1}{2}{h_2}MC}} = \frac{3}{4}.\]

Suy ra \[{S_{\Delta IBC}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta BMC}}.\]

Do đó \[{S_{\Delta IBC}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}.\]

Vậy \(\frac{{{S_{\Delta IBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{1}{2}.\)