Cho tam giác ABC các điểm E và F lần lượt là trung điểm

a) Xét ΔAFB và ΔCNF có:

          AF=FC (gt);

          AFB^=CFN^ (đối đỉnh);

          FN=FB (gt).

Vậy ΔAFB=ΔCFN(c.g.c).

Suy ra A1^=C1^ (2 góc tương ứng)

Mà A1^ và C1^  là hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CN

Tương tự ΔAEC=ΔBEM(c.g.c) ⇒ A1^=B1^ (2 góc tương ứng).

Mà A1^ và B1^ là 2 góc so le trong

Vậy AC // MB.

b) Xét ΔAEM và ΔBEC có:

           AE = EB (gt)

          AEM^=BEC^ (đối đỉnh)

           EM = EC (gt)

⇒ΔAEM=ΔBEC (c.g.c)

+) Tương tự chứng minh: ΔAFN=ΔCFB (c.g.c)

c) ΔAEM=ΔBEC (theo chứng minh trên)

⇒ A3^=B2^ (2 góc tương ứng)

Mà  A3^ và B2^ là 2 góc so le trong nên AM // BC (1)

+) ΔAFN=ΔCFB (chứng minh trên)

 ⇒ A2^=C2^ (2 góc tương ứng)

Mà  A2^ và C2^ là 2 góc so le trong nên AN // BC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A, M, N thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit)

d) ΔAEM=ΔBEC (theo chứng minh trên)⇒AM=BC (3)

ΔAFN=ΔCFB  (chứng minh trên)⇒AN=CB              (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AM = AN