Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1;2)\) và phương trình hai đường trung tuyến là \(2x - y + 1 = 0\) và \(x + 3y - 3 = 0\). Khi đó:

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Dễ thấy đỉnh \(A\) không thuộc hai trung tuyến đã cho, vì toạ độ của nó không thoả mãn phương trình của hai trung tuyến. Gọi \({B^\prime },{C^\prime }\) lần luợt là trung điểm của \(AC\), \(AB\).

Giả sử phương trình của đường thẳng \(B{B^\prime }\) là \(2x - y + 1 = 0\), phương trình của đường thẳng \(C{C^\prime }\) là \(x + 3y - 3 = 0\).

Đặt \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(C{C^\prime }\) nên \({x_0} + 3{y_0} - 3 = 0\). (1)

Điểm \({B^\prime }\) là trung điểm của \(AC\) nên \({B^\prime }\left( {\frac{{1 + {x_0}}}{2};\frac{{2 + {y_0}}}{2}} \right)\). Lại có, điểm \({B^\prime }\) thuộc

đường thẳng \(B{B^\prime }\) nên \(2 \cdot \frac{{1 + {x_0}}}{2} - \frac{{2 + {y_0}}}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{x_0} - {y_0} + 2 = 0\).(2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} + 3{y_0} - 3 = 0}\\{2{x_0} - {y_0} + 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = \frac{{ - 3}}{7}}\\{{y_0} = \frac{8}{7}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(C\) có toạ độ là \(\left( {\frac{{ - 3}}{7};\frac{8}{7}} \right)\).

Tương tự, ta tìm được điểm \(B\left( {\frac{{ - 4}}{7};\frac{{ - 1}}{7}} \right)\).

Từ đó lập các phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, ta viết được phương trình các cạnh của tam giác \(ABC\) như sau:

\(BC:9x - y + 5 = 0;AB:15x - 11y + 7 = 0;AC:3x - 5y + 7 = 0.\)