Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong của góc A (D thuộc BC). Biết AB = 15 cm, AC = 20 cm và diện tích tam giác ABD là 45 cm2. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ABC có AD là tia phân giác của góc A nên \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\).

b) Sai. Vì ba điểm B, D, C thẳng hàng nên ∆ABD và ∆ACD có chung một đường cao kẻ từ đỉnh A xuống đường thẳng BC.

c) Đúng. Vì ∆ABD và ∆ACD có chung đường cao kẻ từ A nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy:

\(\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ACD}}}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4}\) hay \(\frac{{45}}{{{S_{ACD}}}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra diện tích tam giác ACD bằng \(\frac{{45 \cdot 4}}{3} = 60\) (cm²).

d) Sai. Vì ∆ADC và ∆ADM có chung đường cao kẻ từ D nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy:

\(\frac{{{S_{ADM}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{2}\) (vì M là trung điểm của AC).

Do đó \({S_{ADM}} = \frac{1}{2}{S_{ACD}} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30\) (cm²).