Cho tam giác ABC (AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ tâm O vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại điểm H. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, tiếp tuyến này cắt đường t
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính \[AB),\] suy ra \(AC \bot BC.\) Theo giả thiết, \(OH \bot BC\). Do cùng vuông góc với \[BC\] nên \(AC\,{\rm{//}}\,OH\).
b) Sai. Xét \(\Delta OBC\) có \(OB = OC\) (bán kính), nên đây là tam giác cân tại \[O.\]
Vì \(OH \bot BC\) nên \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) có đường cao \(OH\) đồng thời là đường trung tuyến, suy ra \[H\] là trung điểm của \[BC.\]
Xét \(\Delta MBC\) có \[MH\] vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến, suy ra \(\Delta MBC\) cân tại \[M.\]
Do đó, \(MB = MC\) và \(\widehat {MCB} = \widehat {MBC}\).
c) Đúng. Vì \[MB\] là tiếp tuyến nên \(\widehat {OBM} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta OCM\) có:
\(OM\) chung, \(OB = OC\) (bán kính), \(MB = MC\) (chứng minh trên).
Do đó \(\Delta OBM = \Delta OCM\) (c.c.c).
Suy ra \(\widehat {OCM} = \widehat {OBM} = 90^\circ \).
Nên hai điểm \(B,\,\,C\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \[OM.\]
Suy ra tứ giác \[MBOC\] là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \[OM.\]
d) Sai. \(AB = 5\) cm suy ra \(OB = 2,5\) cm.
Dễ dàng chứng minh được (g.g).
Suy ra \[\frac{{OB}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OB}}\] nên \[OH = \frac{{O{B^2}}}{{OM}} = \frac{{{{2,5}^2}}}{8} = 0,78125\] (cm).
Từ đó tính được: \(MH = OM - OH = 8 - 0,78125 = 7,21875\) cm.