Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ). Hai đường cao (BD) và CE của tam giác (ABC) cắt nhau tại

8/8

Cho tam giác \(ABC\)\(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BD\) và \(CE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\). Đường thẳng \(AH\) cắt \(BC\) và \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(F\) và \(K\) \(\left( {K \ne A} \right).\)Gọi \(L\) là hình chiếu của \(D\) lên \(AB\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(BEDC\) nội tiếp và \(B{D^2} = BL.BA\).

b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(KD\) và \(\left( O \right)\), \(\left( {J \ne K} \right).\) Chứng minh \(\widehat {BJL} = \widehat {BDE}\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BJ\) và \(ED.\) Chứng minh tứ giác \(ALIJ\)nội tiếp và \(I\) là trung điểm của \(ED.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ). Hai đường cao (BD) và CE của tam giác (ABC) cắt nhau tại (ảnh 1)

a) \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \)(\(BD,CE\)là hai đường cao của tam giác \(ABC)\)

\( \Rightarrow \)tứ giác \(BEDC\)nội tiếp (2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn \(BC\))

Tam giác \(BDA\)vuông tại D có DL là đường cao nên \(B{D^2} = BL.BA\)

b) \(\widehat {BJK} = \widehat {BAK}\) (cùng chắn

\(\widehat {BAK} = \widehat {BCE}\) (cùng phụ \(\widehat {ABC})\)

\(\widehat {BCE} = \widehat {BDE}\) (cùng chắn

Vậy \(\widehat {BJK} = \widehat {BDE}\).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BJ\)và \(ED\)

\( \Rightarrow \widehat {BLI} = \widehat {BJA} \Rightarrow ALIJ\)là tứ giác nội tiếp

Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(DE\)

\(\widehat {DLI} = \widehat {IDL}\)(cùng phụ hai góc bằng nhau )\( \Rightarrow ID = IL\)

Vậy \(I\) là trung điểm của \(ED.\)