Cho tam giác ABC,( AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt các cạnh AC,AB lần lượt tại

8/8

Cho tam giác \(ABC\,\,\left( {AB < AC} \right)\) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\) cắt các cạnh \(AC,AB\) lần lượt tại \(E,\,F\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\); \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\).

a) Chứng minh: \(AD \bot BC\) và \(AH.AD = AE.AC\).

b) Chứng minh: \(EFDO\) là tứ giác nội tiếp.

c) Trên tia đối của tia \(DE\) lấy điểm \(L\) sao cho \(DL = DF\). Tính số đo góc \(BLC\).

d) Gọi \(R,S\) lần lượt là hình chiếu của \(B,\,\,C\) lên \(EF\). Chứng minh \(DE + DF = RS\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC,( AB < AC) có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt các cạnh AC,AB lần lượt tại (ảnh 1)

a) Do \(FC \bot AB,\,\,BE \bot AC\), suy ra \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Do đó, \(AH \bot BC\).

Khi đó, tứ giác \(HDCE\) nội tiếp.

Xét hai tam giác đồng dạng \(EAH\) và \(DAC\) (do 2 tam giác vuông có góc \(A\) chung)

\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AE.AC\](đpcm).

b) Do \(AD\) là phân giác của góc \(FDE\) nên \(\widehat {FDE} = 2\widehat {FBE} = 2\widehat {FCE} = \widehat {FOE}\)

Vậy tứ giác \(EFDO\) nội tiếp (cùng chắn cung \(EF\)).

c) Vì \(AD\) là phân giác của góc \(FDE\) Þ \(DB\) là phân giác của góc \(FDL\).

Þ \(F,\,L\) đối xứng qua \(BC\) Þ \(L\) thuộc đường tròn tâm \(O\).

Vậy \(\widehat {BLC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm \(O\) Þ \(\widehat {BLC} = 90^\circ \).

d) Gọi \(Q\) là giao điểm của \(CS\) với đường tròn tâm \(O\).

Vì 3 cung \(BF,\,BL\) và \(EQ\) bằng nhau (do kết quả trên).

Suy ra tứ giác \(B,\,E,\,Q,\,L\) là hình thang cân nên hai đường chéo \(BQ\) và \(LE\) bằng nhau.

Mà \(BQ = RS,\,LE = DL + DE = DF + DE\)

Suy ra \(DE + DF = RS\) (đpcm).