Cho tam giác ABC |a-b| < ca < b + cm_ a + m _ b + m _ c < a + b + c

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức tam giác và công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác.

Giải chi tiết:

Ta có:

I và II đúng vì là các bất đẳng thức tam giác.

Mặt khác:

            \[m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{{(b + c)}^2} + {{(b - c)}^2} - 2{a^2}}}{4}.\]

Từ \(|b - c| < a\) suy ra:

            \[{(b - c)^2} < {a^2} \Rightarrow m_a^2 < \frac{{{{(b + c)}^2}}}{4} \Rightarrow {m_a} < \frac{{b + c}}{2}.\]

Tương tự:

            \[{m_b} < \frac{{a + c}}{2},\quad {m_c} < \frac{{a + b}}{2}.\]

Cộng vế theo vế:

            \[{m_a} + {m_b} + {m_c} < a + b + c.\]

Vậy cả ba mệnh đề đều đúng.

Chọn C.