Cho tam giác A B C vuông tại A có ˆ C = 60 ∘ . Tia phân giác góc C cắt A B tại E . Kẻ E K vuông góc với B C tại K . (a) Chứng minh rằng Δ A C E = Δ K C E và A K ⊥ C E .

a) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta KCE\) có:

\(\widehat {CAE} = \widehat {CKE} = 90^\circ \);

\(EC\) là cạnh chung;

\(\widehat {ACE} = \widehat {KCE}\) (do \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)).

Do đó \(\Delta ACE = \Delta KCE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(EA = EK\) và \(CA = CK\) (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó \(CE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AK\) nên \(CE \bot AK\).

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

Suy ra \[\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 30^\circ \].

Mặt khác \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ACE} = \widehat {KCE} = 30^\circ \).

\(\Delta BCE\) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ECB} = 30^\circ \) nên là tam giác cân tại \(E\).

Suy ra \(EB = EC\) nên \(E\) nằm trên đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(BC\).

Do đó \(d\) đi qua \(E\) và \(d \bot BC\)

Lại có \(EK \bot BC\), suy ra \(EK\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).

Khi đó \(K\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BK = KC\) và \(BC = 2KC\)

Mà \(AC = KC\) (câu a) nên \(BC = 2AC\).

Xét \(\Delta BKE\) vuông tại \(K\) có \(BE\) là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác

Do đó \(BE > BK\) mà \(BK = KC = AC\) nên \(BE > AC\).

c) Giả sử hai đường thẳng \(BD\) và \(AC\) cắt nhau tại \(I\).

Xét \(\Delta IBC\) có hai đường cao \(BA,CD\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác.

Suy ra \(IE \bot BC\).

Mà \(EK \bot BC\) nên ba điểm \(I,E,K\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(AC,EK,BD\) đồng quy.