Cho tam giác A B C vuông tại A có B M là trung tuyến. Trên tia đối của tia M B lấy điểm D sao cho M D = M B . Chứng minh rằng: (a) A B = C D và A C vuông góc với C D .

a) Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta CMD\)có

\(MA = MC\) (vì \(BM\) là trung tuyến)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (hai góc đối đỉnh)

\(MB = MD\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta CMD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}\)

\( \Rightarrow AB = CD\) (hai cạnh tương ứng)

\(\widehat {BAM} = \widehat {DCM}\) (hai góc tương ứng) mà \[\widehat {BAM} = 90^\circ \].

Suy ra \[\widehat {DCM} = 90^\circ \] suy ra \(AC \bot CD\).

Chứng minh \(\Delta AMD = \Delta CMB(c.g.c) \Rightarrow AD = BC\) (2 cạnh tương ứng)

\(\widehat {ADM} = \widehat {CBM}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí sole trong \( \Rightarrow AD\parallel BC\)

c) Do\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC > AB\)

mà\(AD = BC\) ( câu b) nên \(AD > AB\)

Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ADB}\) (theo quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong \(\Delta ABD\))

Hay \(\widehat {ABM} > \widehat {ADM}\) mặt khác \(\widehat {ADM} = \widehat {CBM}\)(câu b) Suy ra \(\widehat {ABM} > \widehat {CBM}\).