Cho tam giác A B C vuông tại A ( A B < A C ) . Trên tia đối của tia A B lấy điểm D sao cho A D = A B . (a) Chứng minh rằng Δ C B D là tam giác cân. (b) Gọi M là trung điểm của

a) Do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(CA \bot BD\).

\(AD = AB\) nên \(A\) là trung điểm của \(BD\).

Ta có \(CA \bot BD\) tại trung điểm \[A\] của \(BD\) nên \(CA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BD\).

Suy ra \[CB = CD\] nên \[\Delta BCD\] là tam giác cân tại \(C\).

b) Do \(BC\,{\rm{//}}\,DE\) nên \[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\](so le trong).

Xét \[\Delta BMC\]và \[\Delta EMD\] có:

\[\widehat {BMC} = \widehat {EMD}\] (đối đỉnh);

\[MD = MC\](giả thiết);

\[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\] (chứng minh trên).

Do đó \[\Delta BMC = \Delta EMD\,\,\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)\]

Suy ra \[BC = ED\] (hai cạnh tương ứng).

Ta có \[BC + BD = BD + DE > BE\] (bất đẳng thức trong tam giác \(BDE\)).

c) Do \[\Delta BMC = \Delta EMD\] nên \(MB = ME\) (hai cạnh tương ứng), hay \[M\] là trung điểm \[BE\].

Xét \(\Delta BDE\) có \(EA,DM\) là hai đường trung tuyến của \(\Delta BDE\), \(EA\) cắt \(DM\) tại \(G\)

Suy ra \(G\) là trọng tâm \(\Delta BDE\), do đó \[DM = 3GM\].

Khi đó \[DC = 2DM = 6GM\].