Cho tam giác A B C nhọn, đường cao B D , C E cắt nhau ở H , A H cắt B C tại M . Biết A M ⊥ B C , lấy điểm K sao cho A B là trung trực của H K .
14/20
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(BD,{\rm{ }}CE\) cắt nhau ở \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(M.\) Biết \(AM \bot BC,\)lấy điểm \(K\) sao cho \(AB\) là trung trực của \(HK\).
Khi đó:
\(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
\(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).
\[\Delta AKE = \Delta AEH\].
\(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).
a) Đúng.
Theo giả thiết, ta có \(CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC\) nên \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
b) Đúng.
Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC\) hay \(AM \bot BC\)
Xét tam giác \(BAM\) ta có
\(\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}\)\(180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)\)
Xét tam giác \(BCE\) ta có
\(\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}\)\( = 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ \((1),\,\,(2)\) suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {ECB}\).
b) Sai.
Xét hai tam giác vuông \(AKE\) và \(AHE\) có
\(EK = EH\), \(AE\) là cạnh chung.
Do đó \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (hai cạnh góc vuông bằng nhau).
d) Đúng.
Vì \[\Delta AKE = \Delta AHE\] (cmt)
Suy ra \(\widehat {KAE} = \widehat {HAE}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {HAE} = \widehat {KCB}\) (câu a) nên \(\widehat {KAB} = \widehat {KCB}\).