Cho tam giác A B C , điểm L là trung điểm của B C . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thỏa mãn các đẳng thức −−→ AM = a −−→ AB , −−→ AN = b −−→ AL , −−→ AP = c −−→ AC . Biết a b

24/24

(1 điểm) Cho tam giác \(ABC\), điểm \(L\) là trung điểm của \(BC\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là các điểm thỏa mãn các đẳng thức \(\overrightarrow {AM} = a\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AN} = b\overrightarrow {AL} \), \(\overrightarrow {AP} = c\overrightarrow {AC} \). Biết \(abc \ne 0\). Tìm đẳng thức điều kiện của \(a\), \(b\), \(c\) để \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có:

\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = c\overrightarrow {AC} - a\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = b\overrightarrow {AL} - a\overrightarrow {AB} \)

Mà \(\overrightarrow {AL} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\) (do điểm \(L\) là trung điểm của \(BC\)).

Do đó, ta có: \(\overrightarrow {MN} = \frac{b}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) - a\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{b}{2} - a} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{b}{2}\overrightarrow {AC} \)

Do \(abc \ne 0\) nên \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\frac{{\frac{b}{2} - a}}{{ - a}} = \frac{{\frac{b}{2}}}{c} \Leftrightarrow 2ac = ab + bc\).