Cho tam giác A B C có hai đường trung tuyến A D và B E vuông góc với nhau tại G . Biết rằng A D = 9 c m , B E = 12 c m . Khi đó độ dài cạnh A B là một số nguyên và nằm trong khoảng

8/20

Cho tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(AD\) và \(BE\) vuông góc với nhau tại \(G\). Biết rằng \(AD = 9\,\,{\rm{cm, }}BE = 12\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Khi đó độ dài cạnh \(AB\) là một số nguyên và nằm trong khoảng nào sau đây?

\(\left( {2;\,\,6} \right)\).

\(\left( {6;\,\,8} \right)\).

\(\left( {8;\,\,14} \right)\).

\(\left( {14;\,\,20} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác A B C có hai đường trung tuyến A D và B E vuông góc với nhau tại G . Biết rằng A D = 9 c m , B E = 12 c m . Khi đó độ dài cạnh A B là một số nguyên và nằm trong khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

Tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(BE\) và \(AD\) cắt nhau tại \(G\).

Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(AG = \frac{2}{3}AD = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\) cm và \(BG = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}.12 = 8\) cm.

Xét tam giác \(AGB\) vuông tại \(G\):

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(AB < AG + GB = 6 + 8 = 14\).

Vì \(AB\) là cạnh huyền nên \(AB > BG\) hay \(AB > 8\).

Do đó độ dài cạnh \(AB\) nằm trong khoảng \(\left( {8;\,\,14} \right)\).

Vậy ta chọn phương án C.