Cho tam giác A B C có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác ABC là AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AB và HC. (a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn.

a) \[{\rm{\Delta HDC}}\]vuông tại D có DI là đường trung tuyến nên \[{\rm{ID = IC = IH = }}\frac{{{\rm{HC}}}}{{\rm{2}}}\](1)

Tương tự \({\rm{\Delta HEC}}\) vuông tại E

có EI là đường trung tuyến nên \[{\rm{IE = IC = IH = }}\frac{{{\rm{HC}}}}{{\rm{2}}}\](2)

Từ (1) và (2) bốn điểm C,D,H,E cách đều I nằm trên đường tròn đường tròn tâm I đường kính HC.Vậy tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính HC.

b) Tương tự cũng chứng minh được tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB. nên \(\widehat {{\rm{BAE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{EDC}}}\)( cùng bù với \(\widehat {{\rm{EDB}}}\))

và ta cũng có \(\widehat {{\rm{BAE}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{AEO}}}\)( \(\Delta {\rm{OAE}}\)cân tại O) nên \(\widehat {{\rm{AEO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{EDC}}}\)(1)

\(\widehat {{\rm{EDC}}} = \widehat {{\rm{EHC}}}\)( Hai góc nội tiếp cùng chắng của đường tròn( I)

và \(\widehat {{\rm{EHC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\)(\(\Delta {\rm{IHE}}\)cân tại I) nên \(\widehat {{\rm{EDC}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {{\rm{AEO}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{HEI}}}\), Mà \(\widehat {{\rm{OEI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ OEH}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{HEI}}}\)\( = \widehat {{\rm{OEH}}}{\rm{ + }}\widehat {{\rm{ AEO}}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\)

Vậy \[OE \bot EI\] tại \(E\)\(EI\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AB.\)

c) OE = OD suy ra O thuộc trung trực của ED

IE = ID suy ra I thuộc trung trực của ED

Kết luận OI là trung trực của ED.

Vậy OI vuông góc với ED