Cho tam giác A B C cân tại A có đường cao A M , N là trung điểm của A C . Kẻ A x ∥ B C cắt M N tại E . a) N là trung điểm của B C . b) M E ∥ A B .

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai.

d) Đúng.

⦁ Theo đề, tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AM\) nên \(AM\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Do đó ý a) sai.

⦁ Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\), \(N\) là trung điểm của \(AB.\)

Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\parallel AB\) hay \(ME\parallel AB\). Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có \(AE\parallel BC\) và \(ME\parallel AB\) nên \(AEMB\) là hình bình hành.

Suy ra \(AE = MB\) mà \(MB = MC\) nên \(AE = MC.\) Do đó ý c) đúng.

⦁ Tứ giác \(AECM\) có \[AE\parallel CM\] (vì \(AE\parallel MC\)) và \(AE = MC.\)

Suy ra tứ giác \(AECM\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(AECM\) có \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) nên \(AECM\) là hình chữ nhật. Do đó ý d) đúng.