Cho tam giác A B C , các điểm H , G , O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của BC và AC . Chứng

a) Vì \(O\) là giao điểm ba đường trung trực nên \(OM \bot AB.\)

Lại có \(AH \bot BC\)\((H\) là trực tâm) nên \(AH\,{\rm{//}}\,OM.\)

Tương tự, \(BH\,{\rm{//}}\,ON.\)

Do đó \(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác \[BAC\] có \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AC.\)

Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\)\(MN = \frac{1}{2}AB.\)

Suy ra \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\) (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét \(\Delta OMN\) và \(\Delta HAB\) có:

\(\widehat {MON} = \widehat {AHB}\) và \(\widehat {OMN} = \widehat {HAB}\)

Do đó ΔOMN∽ΔHAB (g.g).

b) Vì ΔOMN∽ΔHAB (câu a) nên \[\frac{{OM}}{{HA}} = \frac{{NO}}{{HB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\] (tỉ số cạnh tương ứng) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC,\)\(AM\) là trung tuyến nên \(\frac{{AG}}{{GM}} = 2,\) hay \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{1}{2}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta GOM\) và \(\Delta GHA\) có:

\(\frac{{GM}}{{AG}} = \frac{{OM}}{{AH}}\) và \(\widehat {OMG} = \widehat {HAG}\) (so le trong của \(AH\,{\rm{//}}\,OM)\)

Do đó ΔGOM∽ΔGHA (c.g.c).

c) Vì ΔGOM∽ΔGHA (câu b) nên \(\widehat {OGM} = \widehat {HGA}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {HGM} + \widehat {HGA} = 180^\circ \) (kề bù) nên \[\widehat {HGM} + \widehat {OGM} = 180^\circ .\]

Do đó 3 điểm \(O;\,\,G;\,\,H\) thẳng hàng.

Mặt khác, nên \(\frac{{GO}}{{GH}} = \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{2},\) suy ra \(GH = 2GO.\)