Cho số thực x, y thỏa mãn x^2 +y^2 - 2. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đáp án đúng là "-512"

Phương pháp giải

Đặt \(x + y = t\). Đưa về hàm \(t\) và đánh giá

Lời giải

Ta có \(:{x^2} + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = 2\)

Đặt \(t = x + y\), Vì \({(x + y)^2} = {t^2} \Rightarrow {t^2} \le 2 \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow {t^2} - 2xy = 2 \Rightarrow xy = \frac{{{t^2} - 2}}{2}\)

Xét biểu thức:

\(P = 4\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 7xy = 4(x + y)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) - 7xy\)

\( = 4(x + y)\left[ {{{(x + y)}^2} - 3xy} \right] - 7xy\)

\( \Rightarrow P(t) = 4t\left( {{t^2} - 3.\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) - 7.\frac{{{t^2} - 2}}{2} = 2{t^3} - \frac{7}{2}{t^2} + 12t + 7\)

Xét hàm số: \(P\left( t \right) = 2{t^3} - \frac{7}{2}{t^2} + 12t + 7\) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\)

\(P'\left( t \right) = 6{t^2} - 7t + 12\)

\(P'\left( t \right) = 0 \Rightarrow 6{t^2} - 7t + 12 = 0\)

Phương trình vô nghiệm. Theo định lý dấu tam thức bậc 2 ta thấy

\(P'\left( t \right) > 0,\forall t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

\(P\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 16\sqrt 2 ;\,\,P\left( {\sqrt 2 } \right) = 16\sqrt 2 \)

Vậy \(M.m =  - 512\)