Cho số thực x > 0 thỏa mãn đẳng thức x^2 + 1/x^2 = 7. Tính giá trị của biểu thức x^3 + 1/x^3.

46/50

Cho số thực \(x > 0\) thỏa mãn đẳng thức \({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 7.\) Tính giá trị của biểu thức \({x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}.\)

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

\({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = 7\)

\({x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} = 9\)

\({x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} = 9\)

\({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {3^2}\)

Vì \(x > 0\) nên \(x + \frac{1}{x} = 3.\)

Ta có \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} = {x^3} + 3 \cdot {x^2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} = {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right)\).

Suy ra \({x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {3^3} - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18.\)

Đáp án: 18.