Cho số thực m = l o g a √ a b với a , b > 1 và P = ( log a b ) 2 + 54 log b a . Tìm giá trị của m để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Ta có \(m = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right) > \frac{1}{2}\) với \(a,b > 1\).
\(P = {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} + 54{\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}a\)\( = {\left( {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b} \right)^2} + \frac{{54}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b}}\)\( = {(2m - 1)^2} + \frac{{54}}{{2m - 1}} = f\left( m \right)\)\(f'\left( m \right) = \frac{{4{{(2m - 1)}^3} - 108}}{{{{(2m - 1)}^2}}}\).
\(f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow m = 2\).
Bảng biến thiên

Từ BBT, ta có \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất là 27 khi \(m = 2\).