Cho số phức z thỏa mãn |z+i+1|=|z-2i| . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ)

 ⇒z¯=x−yi

Ta có:  z+i+1=z¯−2i

 ⇔x+12+y+12=x2+−y−22

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y + 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² + 4y + 4

Û 2x − 2y = 2

Û x − y = 1

Û x = y + 1

Khi đó, mô đun của số phức z là:

 z=x2+y2=y+12+y2=y2+2y+1+y2

 =2y2+2y+1=2y2+2 . 2y . 12+12+12

 =y2+122+12≥22

Dấu “=” xảy ra  ⇔y2=−12⇔y=−12⇒x=12.

Vậy GTNN của |z| là  22 khi  x=12, y=−12.