Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1|  |z − 2i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của modun của số phức z.

Đặt z = x + yi (x, y Î ℝ).

Ta có: |z + i + 1| = |z − 2i|

 ⇔x+12+y+12=x2+y−22

Û (x + 1)² + (y + 1)² = x² + (y − 2)²

Û x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = x² + y² − 4y + 4

Û 2x + 6y = 2

Û x + 3y = 1

Û x = 1 − 3y

Khi đó, mô đun của số phức z là:

 z=x2+y2=1−3y2+y2=1−6y+9y2+y2

 =10y2−6y+1=10y2−2 . 10y . 310+910+110

 =y10−3102+110≥1010

Dấu “=” xảy ra  .⇔y10=310⇔y=310⇒x=110

Vậy GTNN của mô đun z là  1010 khi  x=110, y=310.