Cho số phức z thỏa mãn | z − i | = 1 . Gọi w 1 ; w 2 là hai trong các số phức w thỏa mãn w = (z + 2 + 3i) /( 1 + i z) và | w 1 − w 2 | = 4 . Môđun của số phức w 1 + w 2 + 2 i bằng

94/100

Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - i} \right| = 1$. Gọi ${w_1};{w_2}$ là hai trong các số phức $w$ thỏa mãn $w = \frac{{z + 2 + 3i}}{{1 + iz}}$ và $\left| {{w_1} - {w_2}} \right| = 4$. Môđun của số phức ${w_1} + {w_2} + 2i$ bằng

$4\sqrt 5 $.

$\sqrt 5 $.

Giải thích

Ta có: $w = \frac{{z + 2 + 3i}}{{1 + iz}}$

$ \Leftrightarrow w\left( {1 + iz} \right) = z + 2 + 3i$

$ \Leftrightarrow z\left( {1 - iw} \right) = w - 2 - 3i$

$ \Leftrightarrow z = \frac{{w - 2 - 3i}}{{1 - iw}}$

Khi đó, $\left| {z - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{w - 2 - 3i}}{{1 - iw}} - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{ - 2 - 4i}}{{1 - iw}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {1 - iw} \right| = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {w + i} \right| = 2\sqrt 5 $

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {0; - 1} \right)$, bán kính $R = 2\sqrt 5 $.

Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức ${w_1};{w_2} \Rightarrow M,N \in \left( C \right)$.

Vì $\left| {{w_1} - {w_2}} \right| = 4$ nên $MN = 4$. Gọi $H$ là trung điểm của $MN \Rightarrow MH = 2$.

$Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - i} \right| = 1$. Gọi ${w_1};{w_2}$ là hai trong các số phức $w$ thỏa mãn $w = \frac{{z + 2 + 3i}}{{1 + iz}}$ và $\left| {{w_1} - {w_2}} \right| = 4$. Môđun của số phức ${w_1} + {w_2} + 2i$ bằng A. 8. B. $4\sqrt 5 $. C. 2. D. $\sqrt 5 $. (ảnh 1)$

Khi đó, $IH = \sqrt {I{M^2} - M{H^2}} = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}} = 4$.

Mặt khác, $\left| {{w_1} + {w_2} + 2i} \right| = \left| {{w_1} + i + {w_2} + i} \right| = \left| {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} \left| = \right|2\overrightarrow {IH} } \right| = 8$.

Chọn A