Cho số phức z thỏa mãn z-6 + z+6 = 20. Gọi M, n lần

Gọi \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\). Theo giả thiết, ta có \(|z - 6| + |z + 6| = 20\).

\( \Leftrightarrow |x - 6 + yi| + |x + 6 + yi| = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 6)}^2} + {y^2}}  + \sqrt {{{(x + 6)}^2} + {y^2}}  = 20\,\,{\rm{ (*)}}{\rm{. }}\)

Gọi \(M(x;y),\,\,{F_1}(6;0)\) và \({F_2}( - 6;0)\).

Khi đó \((*) \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 20 > {F_1}{F_2} = 12\) nên tập hợp các điểm \(M\) là đường elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Và độ dài trục lớn bằng 20 .

Ta có: \(c = 6;\,\,2a = 20 \Leftrightarrow a = 10{\rm{ v\`a  }}{b^2} = {a^2} - {c^2} = 64 \Rightarrow b = 8.{\rm{ }}\)

Do đó, phương trình chính tắc của \((E)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

Suy ra \(max|z| = OA = OA' = 10\) khi \(z =  \pm 10\) và \(min|z| = OB = OB' = 8\) khi \(z =  \pm 8i\).

Vậy \(M - n = 2\).