Cho số phức z thoả mãn | z − 3 − 4 i | = √ 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ∣ ∣ z + 2 | 2 − ∣ ∣ z − i | 2 . Tổng M + m bằng (1) ____

Đáp án : “46”

Giải thích

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có: \(\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5  \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 4)^2} = 5\left( 1 \right)\).

Mặt khác, \(P = \left| {z + 2{|^2} - } \right|z - i{|^2} = {(a + 2)^2} + {b^2} - \left[ {{a^2} + {{(b - 1)}^2}} \right] = 4a + 2b + 3 \Rightarrow b = \frac{{P - 4a - 3}}{2}\)(2)

Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(20{a^2} + \left( {64 - 8P} \right)a + {P^2} - 22P + 137 = 0\left( {\rm{*}} \right)\).

Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có nghiệm khi \({\rm{\Delta '}} =  - 4{P^2} + 184P - 1716 \ge 0\).

\( \Leftrightarrow 13 \le P \le 33 \Rightarrow M + m = 33 + 13 = 46\).