Cho số phức z thoả mãn | z − 3 − 4 i | = √ 5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | z + 2 | 2 − | z − i | 2 . Tổng M + m bằng (1) _______.

Đáp án

Cho số phức \(z\) thoả mãn \(|z - 3 - 4i| = \sqrt 5 \). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = |z + 2{|^2} - |z - i{|^2}\). Tổng \(M + m\) bằng (1) __ 46 __.

Giải thích

Đặt \(z = a + bi\,\,(a,b \in \mathbb{R})\).

Ta có: \(|z - 3 - 4i| = \sqrt 5  \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 4)^2} = 5\) (1).

Mặt khác, \(P = |z + 2{|^2} - |z - i{|^2} = {(a + 2)^2} + {b^2} - \left[ {{a^2} + {{(b - 1)}^2}} \right] = 4a + 2b + 3 \Rightarrow b = \frac{{P - 4a - 3}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(20{a^2} + (64 - 8P)a + {P^2} - 22P + 137 = 0\,\,(*){\rm{.}}\)

Phương trình \((*)\) có nghiệm khi \({\Delta ^\prime } =  - 4{P^2} + 184P - 1716 \ge 0\).

\( \Leftrightarrow 13 \le P \le 33 \Rightarrow M + m = 33 + 13 = 46.\