Cho số phức z thỏa mãn | z | = 1 . GTLN của biểu thức P = ∣ z^3 − z + 2 ∣ là:

Phương pháp giải

Lời giải

Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Theo giả thiết, \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow z.\bar z = 1\) và \({x^2} + {y^2} = 1\).

\(P = \left| z \right|.\left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} \right| = \left| {{z^2} - 1 + 2\bar z} \right| = \left| {{x^2} - {y^2} + 2xyi - 1 + 2x - 2yi} \right|\)

\(\; = \left| {\left( {{x^2} + 2x - {y^2} - 1} \right) + 2y\left( {x - 1} \right)i} \right| = \sqrt {{{\left( {{x^2} + 2x - {y^2} - 1} \right)}^2} + 4{y^2}{{(x - 1)}^2}} \)

\(\; = \sqrt {{{\left( {{x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 1} \right)}^2} + 4\left( {1 - {x^2}} \right){{(x - 1)}^2}} \left( {{\rm{\;V\`i \;y\;}}{\;^2} = 1 - {x^2}} \right)\)

\( = \sqrt {16{x^3} - 4{x^2} - 16x + 8} .\)

\({\rm{V\`i \;}}{x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 - {y^2} \le 1 \Rightarrow  - 1 \le x \le 1.\)

Xét hàm số \({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = 16{{\rm{x}}^3} - 4{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} + 8,\,\,{\rm{x}} \in \left[ { - 1;1} \right]\).

\({\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = 48{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} - 16.{\rm{f'}}\left( {\rm{x}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x}} =  - \frac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]}\\{{\rm{x}} = \frac{2}{3} \in \left[ { - 1;1} \right]}\end{array}.} \right.\)

\({\rm{f}}\left( { - 1} \right) = 4;{\rm{f}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 13;{\rm{f}}\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{8}{{27}};{\rm{f}}\left( 1 \right) = 4.\)

⇒max−1;1fx=f−12=13.

Vậy \({\rm{max}}P = \sqrt {13} \).

 Chọn A