Cho số phức z thõa mãn trị tuyệt đối z-1+i=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lưu ý: Giả sử z có điểm biểu diễn là M, khi đó:
1) z−a+bi=MN với Na;b.
2) z−a+bi=c (với c>0) là phương trình đường tròn tâm Ia;b, bán kính r=c.
3) Xét tam giác MAB với I là trung điểm AB, ta có:

MA2+MB2=MI→+IA→2+MI→+IB→2=2MI2+2MI→IA→+IB→⏟=0→+IA2+IB2=2MI2+AB22+AB22=2MI2+AB22.
4) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Với hai cặp số (a; x), (b; y) ta có: ax+by≤a2+b2x2+y2.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ax=by⇔ab=xy (điều kiện mẫu khác 0).

 Cách giải 1: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn cho số phức z. Gọi I1;−1, A−2;1, B2;3lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1−i; −2+i; 2+3i. Khi đó, ta có:
z−1+i=2⇔z⏟M−1−i⏟I=2⇔MI=2; nghĩa là M thuộc đường tròn (C) có tâm I1;−1, R=2.
Ta có P=z+2−i2+z−2−3i2=z⏟M−−2+i⏟A2+z⏟M−2+3i⏟B2=MA2+MB2. (Xem mục Lưu ý).
Gọi E0;2 là trung điểm của AB, ta có: P=2ME2+AB22. (Xem mục Lưu ý).
Ta thấy AB không đổi, do đó có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi có giá trị lớn nhất.
Nhận thấy: IE=1+9=10>2=R nên nên điểm E nằm ngoài đường tròn (C).
Ta có: MEmax=IE+R=2+10.
Vậy Pmax=2MEmax2+AB22=22+102+10=38+810.
Cách giải 2: Giả sử z=x+yi (x, y∈ℝ). Mx; y là điểm biểu diễn của z.
Từ giả thiết: z−1+i=2, suy ra M∈C1 có tâm I11; −1 và bán kính R1=2.
Khi đó: z−1+i=2⇔x−12+y+12=4⇔x2+y2=2x−2y+2.
Ta có: P=z+2−i2+z−2−3i2=x+22+y−12+x−22+y−32.
Suy ra P=2x2+2y2−8y+18=122x−2y+2−8y+18=4x−12y+22=4x−1−12y+1+38.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
4x−1−12y+1≤42+−122x−12+y+12⏟=4=810⇔−810≤4x−1−12y+1≤810⇔−810+38≤P≤810+38..
Do đó Pmax=38+810.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x−1y+1=−4124x−12y+22=38+810.
(Học sinh có thể giải tìm x, y bằng phương pháp thế hoặc dùng máy tính bỏ túi).

Chọn đáp án B