Cho số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối z-1/ z+3i. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Gọi với z=x+yi; x,  y∈ℝ Mx;y,  M'x;−y lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z,  z¯.
Ta có: z−1z+3i=12⇔2z−1=z+3i⇔2x−1+yi=x+y+3i.

⇔2x−12+y2=x2+y+32⇔2x2−4x+2+2y2=x2+y2+6y+9

⇔x2+y2−4x−6y−7=0⇔x−22+y−32=20
Như vậy, tập hợp điểm M là đường tròn C tâm I(2; 3) và bán kính R=25.

P=z+i+2z¯−4+7i=OM→−OA→+2OM'→−OB→ với A0;−1, B4;−7. Suy ra P=AM+2BM'.
Vì M' đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm B'4;7 đối xứng với B qua Ox, khi đó M'B=MB'. Do đó: P=AM+2MB'.
Ta lại có A0;−1, B'4;7 thuộc đường tròn (C) và AB'=45=2R, vì vậy AB' là đường kính của đường tròn (C)⇒MA2+MB'2=AB'2=80.

Do đó: =MA+2MB'≤12+22MA2+MB'2⏟=80⏟Cauchy−Shwart=20.
Dấu "=" xảy ra khi MB'=2MAMA2+MB'2=80⇒MA=4MB'=8. Vậy maxP=20.

Vậy chọn đáp án B