Cho số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối của z - 1 - i + trị tuyệt đối của z - 3 - 2i = căn bậc 2 của 5 . Giá trị lớn nhất của trị tuyệt đối của z + 2i bằng
Giải thích
Đáp án B
Gọi z=x+yi,x,y∈ℝ.
Khi đó z−1−i+z−3−2i=5⇔x−1+y−1i+x−3+y−2i=5 1.
Trong mặt phẳng Oxy, đặt A1;1;B3;2;Ma;b.
⇒Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm Ma;b trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn MA+MB=5.
Mặt khác AB=3−12+2−12=5 nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.
Ta có z+2i=a+b+2i . Đặt N0;−2thì z+2i=MN.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.
Phương trình AB: x−2y+1=0 .
Ta có H−1;0nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.
Ta có AN=12+32=10BN=32+2+22=5.
Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có AN≤MN≤BN=5.
Vậy giá trị lớn nhất của z+2ibằng 5 đạt được khi M≡B3;2, tức là z=3+2i.