Cho số phức  thỏa mãn điều kiện  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức   được viết dưới dạng  với  là các hữu tỉ. Giá trị của  là       

Cách 1.

* Đặt E−2;0,F0;−2,A1;2,B3;4,C5;6,Mx;y biểu diễn cho số phức

* Từ giả thiết., ta có M thuộc đường trung trực Δ:y=x của đoạn EF và P=AM+BM+CM.

* Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng Δ.

- Với M' tùy ý thuộc Δ,M' khác M. Gọi A' là điểm đối xứng của  A qua Δ. Nhận thấy rằng ba điểm A',M,C thẳng hàng.

- Ta có AM'+BM'+CM'=A'M'+BM'+CM'. Mà A'M'+CM'>A'C=A'M+CM=AM+CM. Lại có BM'>BM. Do đó AM'+BM'+CM'>AM+BM+CM.

Cách 2.

* Gọi z=x+yi,x,y∈ℝ. Từ giả thiết z+2=z+2i, dẫn đến y=x. Khi đó z=x+xi.

* P=x−12+x−22+x−32+x−42+x−52+x−62.

* Sử dụng bất đẳng thức

                                                   a2+b2+c2+d2≥a+c2+b+d2.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ac=bd. Ta có

x−12+x−22+x−52+x−62=x−12+x−22+5−x2+6−x2

≥x−1+6−x2+x−2+5−x2

                  ≥34

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x−16−x=x−25−x⇔x=72.

* Mặt khác

  x−32+x−42=2x2−14x+25=2x−722+14≥12.

Dấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=72.

* Từ hai trường hợp trên, ta thấy, giá trị nhỏ nhất của P là 1+2172. Khi đó a+b=3.

Chọn đáp án A.