Cho số nguyên dương n thỏa mãn các số 1C2n , 2C2n , 3C2n theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n ∈ N ∗ . Khi đó, có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn điều kiện trên? Đáp án: _______

Đáp án: "1"

Phương pháp giải

\(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).

Lời giải

Theo bài ra, ta có \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 = 2C_{2n}^2 \Leftrightarrow 2n + \frac{{\left( {2n - 2} \right)\left( {2n - 1} \right)2n}}{6} = 2.\frac{{\left( {2n - 1} \right)2n}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 1 + \frac{{4{n^2} - 6n + 2}}{6} = 2n - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{n^2} - 6n + 8}}{6} = 2n - 1\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 3n + 4 = 6n - 3\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 9n + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 1}\\{n = \frac{7}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy có 1 giá trị của \(n\) thỏa mãn.