Cho số hữu tỉ \({\rm{c}} = \frac{{{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 5}}\) (x là số nguyên khác 5). Xét tính đúng/sai của mỗi khẳng định sau:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Với x là số nguyên khác 5, ta có:
\({\rm{c}} = \frac{{{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 5}} = \frac{{{\rm{x}} - 5 + 3}}{{{\rm{x}} - 5}} = 1 + \frac{3}{{{\rm{x}} - 5}}.\)
Vậy a) đúng.
b) Đúng. Với x là số nguyên khác 5, để c là số nguyên thì \(1 + \frac{3}{{{\rm{x}} - 5}}\) là số nguyên, nên \(\frac{3}{{{\rm{x}} - 5}}\) là số nguyên.
Khi đó, 3 chia hết cho (x - 5), suy ra x - 5 thuộc tập hợp các ước của 3.
Vậy b) đúng.
c) Sai. Vì x - 5 thuộc tập hợp các ước của 3 nên (x - 5) ∈ {1; -1; 3; -3}.
Ta có bảng:
| x - 5 | 1 | 3 | -1 | -3 |
| x | 6 (TM) | 8 (TM) | 4 (TM) | 2 (TM) |
Vậy có 4 giá trị nguyên của x thỏa mãn bài toán.
d) Đúng. Với x = 6 thì \({\rm{c}} = \frac{{{\rm{6}} - 2}}{{{\rm{6}} - 5}} = 4\) là số tự nhiên.
Với x = 8 thì \({\rm{c}} = \frac{{{\rm{8}} - 2}}{{8 - 5}} = 2\) là số tự nhiên.
Với x = 4 thì \({\rm{c}} = \frac{{4 - 2}}{{{\rm{4}} - 5}} = - 2\) không là số tự nhiên.
Với x = 2 thì \({\rm{c}} = \frac{{{\rm{2}} - 2}}{{{\rm{2}} - 5}} = 0\) là số tự nhiên.
Vậy có 3 giá trị của x để c là số tự nhiên.