Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m. a) sin a cos a; b) sin^3 a + cos^3 a; c) sin^4 a + cos^4 a.

Lời giải

a) Ta có: sin a + cos a = m nên (sin a + cos a)² = m²

hay sin² a + cos² a + 2sin a cos a = m² hay 1 + 2sin a cos a = m².

Từ đó suy ra sin a cos a = \(\frac{{{m^2} - 1}}{2}\).

b) sin³ a + cos³ a = (sin a + cos a)³ – 3sin a cos a(sin a + cos a)

= m³ – 3m\(\frac{{{m^2} - 1}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}\).     

c) sin⁴ a + cos⁴ a = (sin² a + cos² a)² – 2sin² a cos² a

= 1 – 2(sin a cos a)² = \(1 - 2.{\left( {\frac{{{m^2} - 1}}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{{{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}}}{2}\).