Cho sin a + cos a = 1/3 với −pi/2 < a < 0. Biết A = sin a − cos a = −√(m/n) (n là số nguyên tố). Tính m + n.

18/22

Cho \[\sin a + \cos a = \frac{1}{3}\] với \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\]. Biết \[A = \sin a - \cos a = - \frac{{\sqrt m }}{n}\] (\(n\) là số nguyên tố). Tính \[m + n\].

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Bình phương giả thiết: \({\left( {{\rm{sin}}a + {\rm{cos}}a} \right)^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 1 + 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = - \frac{8}{9}\).

Ta có: \({A^2} = {\left( {{\rm{sin}}a - {\rm{cos}}a} \right)^2} = 1 - 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a = 1 - \left( { - \frac{8}{9}} \right) = \frac{{17}}{9}\).

Vì \( - \frac{\pi }{2} < a < 0 \Rightarrow {\rm{sin}}a < 0\) và \({\rm{cos}}a > 0 \Rightarrow A = {\rm{sin}}a - {\rm{cos}}a < 0\).

Suy ra: \(A = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\). Đối chiếu dạng bài cho ta có \(m = 17\) và \(n = 3\) (3 là số nguyên tố).

Vậy \(m + n = 17 + 3 = 20\).

Đáp số: 20.