Cho sáu điểm A(1; 2; 3), B(2; −1; 1), C(3; 3; −3) và A', B', C' thỏa mãn A'A +B'B + C'C = 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác A'B'C'.

Ta có: \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {C'G} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\left( {\overrightarrow {A'G} + \overrightarrow {B'G} + \overrightarrow {C'G} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0 \)

⇔ \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi G(x; y; z), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\y = \frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 3}}{3} = \frac{4}{3}\\z = \frac{{3 + 1 + \left( { - 3} \right)}}{3} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)⇒ G\(\left( {2;\frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)\).