Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F. a) Chứng

(H.5.31)

a) Xét hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại E ta có EA = EM. Tương tự, có FB = FM.

Chu vi của tam giác SEF là

\({P_{SEF}} = SE + EF + SF = SE + \left( {EM + MF} \right) + SF\)

\( = SE + EA + FB + SF = \left( {SE + EA} \right) + \left( {FB + SF} \right)\)

= SA + SB (điều phải chứng minh).

b) Giả sử M trùng với giao điểm của SO và (O).

Xét hai tiếp tuyến SA, SB của (O) cắt nhau tại S, ta có: SA = SB và SO là tia phân giác của \(\widehat {ASB}.\)

Tam giác SAB cân tại S (do SA = SB) có SO là đường phân giác nên đồng thời đường trung trực, tức là đoạn thẳng EF là tiếp tuyến của (O) tại M nên OM ⊥ EF, do đó SO ⊥ EF.

Từ đó suy ra AB // EF (cùng vuông góc với SO).

Tam giác SAB có AB // EF nên \(\frac{{SE}}{{SA}} = \frac{{SF}}{{SB}}\) mà SA = SB, do đó SE = SF (điều phải chứng minh).