Cho S1, S2 là diện tích các hình phẳng được mô tả trong Hình 3. Tính S1/S2 .

Ta có \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3\)\( = \frac{9}{2}\).

\({S_2} = \int\limits_0^3 {\left| x \right|} dx + \int\limits_3^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 x dx + \int\limits_3^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} \)

\( = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^3 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_3^4\)\( = \frac{9}{2} + \frac{{32}}{3} - 9 = \frac{{37}}{6}\).

Do đó \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{37}}{6} = \frac{{27}}{{37}}\).