Cho P(n) = n^2 - 6n + 10 với n là số tự nhiên.

Lời giải

a) Ta có \(\frac{{2P\left( n \right) + 1}}{{n - 2}} = \frac{{2\left( {{n^2} - 6n + 10} \right) + 1}}{{n - 2}} = \frac{{2{n^2} - 12n + 21}}{{n - 2}} = 2n - 8 + \frac{5}{{n - 2}}\).

Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên để \(\frac{{2P\left( n \right) + 1}}{{n - 2}}\) là số nguyên thì \(n - 2 \in \)Ư(5) \( = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\).

Với \(n - 2 =  - 5 \Rightarrow n =  - 3\) (loại).

Với \(n - 2 =  - 1 \Rightarrow n = 1\) (thỏa mãn).

Với \(n - 2 = 1 \Rightarrow n = 3\) (thỏa mãn).

Với \(n - 2 = 5 \Rightarrow n = 7\)(thỏa mãn).

Vậy có 3 số tự nhiên \(n\) thỏa mãn.

b) \(P\left( 1 \right) = {1^2} - 6 \cdot 1 + 10 = 5\).

c) Với \(n = 1\) thì \(P\left( {2n} \right) = P\left( 2 \right) = 2\); \(P\left( 1 \right) = 5\).

Suy ra \(P\left( 2 \right) < P\left( 1 \right) - 1\).

d) \(P\left( 5 \right) = 5\) là một ước của 2025.

Đáp án: a) Sai;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.