Cho pi/ 4 ∫ pi/ 6 ( 2 tan x + cot x ) ^2 dx = a + b √ 3 + c pi (*). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ a , b , c thỏa mãn (*). Tổng a + 3 b + 12 c có giá trị bằng bao nhiêu

Ta có \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {2{\rm{tan}}x + {\rm{cot}}x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {4{{\tan }^2}x + 4\tan x.{\rm{cot}}x + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x} \right){\rm{d}}x} \)

\( = \left( {4{\rm{tan}}x - {\rm{cot}}x - x} \right)\left| \begin{array}{l}{{\rm{\;}}^{\frac{\pi }{4}}}\\_{\frac{\pi }{6}}\end{array} \right. = 3 + \frac{{ - 1}}{3} \cdot \sqrt 3  + \frac{{ - 1}}{{12}} \cdot \pi \).

Vậy \(a = 3,b = \frac{{ - 1}}{3},c = \frac{{ - 1}}{{12}}\).

Do đó \(a + 3b + 12c = 3 - 1 - 1 = 1\).

Đáp án cần nhập là: \(1\).