Cho phương trình

\({x^2} - 12x + 4 = 0\)

Xét \({\Delta ^\prime } = {b^{\prime 2}} - ac = {( - 6)^2} - 1.4 = 32 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 12;{x_1}{x_2} = 4\quad  \Rightarrow {x_1} > 0,{x_2} > 0\)

Ta có:

\({T^2} = {\left( {\frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} }}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)}^2}}} = \frac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{{{\left( {{{12}^2} - 2.4} \right)}^2}}}{{12 + 2\sqrt 4 }} = 1156\)\(\)

Nhận xét \(x_1^2 + x_2^2 > 0\) và \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}  > 0\) với mọi \({x_1},{x_2} > 0\) suy ra \(T > 0\)

\( \Rightarrow T = \sqrt {{T^2}}  = \sqrt {1156}  = 34\)

Vây \(T = 34\).