Cho phương trình x^4 − ( 3 m + 1 ) x^2 + 2 m^2 + m = 0 (với m là tham số). Mỗi phát biểu sau là đúng hay sai?

Đáp án

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Với mọi \(m\), phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.		X
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì \(m > 0\).	X
Với \(m = \frac{1}{7}\) thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.	X

Giải thích

Ta có \({x^4} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + 2{m^2} + m = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - m} \right)\left( {{x^2} - 2m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = m}\\{{x^2} = 2m + 1}\end{array}} \right.\)

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(\left[ \begin{array}{l}m > 0\\2m + 1 > 0\\m \ne 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó phương trình có 4 nghiệm là \( - \sqrt m ,\sqrt m , - \sqrt {2m + 1} ,\sqrt {2m + 1} \).

Do \(m > 0\) nên \(2m + 1 > m\) do đó \( - \sqrt {2m + 1}  <  - \sqrt m  < \sqrt m  < \sqrt {2m + 1} \). Để 4 nghiệm này tạo thành một cấp số cộng thì \(2\sqrt m  = \sqrt {2m + 1}  - \sqrt m  \Leftrightarrow m = \frac{1}{7}\) (thỏa mãn).