Cho phương trình: x^3 cos ^3 x + m (x cos x-1)(x cos x+2) . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi .

Lời giải

Yêu cầu cần đạt: Nắm vững được tính chất liên tục của hàm số để chứng minh phương có nghiệm.

* Xét fx=xcosx−1 có tập xác định là R và liên tục trên R.

Có f0=−1<0 và f−π=π−1>0.

Vậy ∃x1∈−π;0:fx1=0. Tức là x1cosx1=1 

* Xét  gx=xcosx+2có tập xác định là R và liên tục trên R.

Có g0=2>0 và gπ=−π+2<0.

Vậy ∃x2∈0;π:gx2=0. Tức là x2cosx2=−2 

* Xét Fx=x3cos3x+mxcosx−1xcosx+2 có tập xác định là R và liên tục trên R.

Có Fx1=13+m.0=1>0 và Fx2=−23+0m=−8<0 nên ∃x0∈x1;x2:Fx0=0.

Vậy phương trình Fx=0 luôn có nghiệm với mọi giá trị m.